Origami a geometrie

	Jsou-li dány dva body, můžeme zkonstruovat přímku, která jimi prochází.
	Jsou-li dány dvě přímky, které nejsou rovnoběžné, pak můžeme najít bod, kde se protínají (průsečík).
	Je-li dán bod p a délka r, pak můžeme zkonstruovat kružnici o poloměru r a se středem v bodě p.
	Je-li dána kružnice, můžeme najít její průsečík s jinou kružnicí nebo přímkou.

Ovšem geometrické konstrukce můžeme provádět i pomocí origami -- hrany odpovídají přímkám, skládáním vytváříme úhly. Navíc v origami je možná i trisekce úhlu a zdvojnásobení krychle! Toto tvrzení je jistě dobrým důvodem podívat se na vztah origami a geometrie blíže.

Huzitovy axiomy origami

O1	Jsou-li dány dva body B1 a B2, můžeme složit hranu tak, aby jimi procházela.
O2	Jsou-li dány dva body B1 a B2, můžeme složit hranu tak, aby bod B1 ležel na bodě B2.
O3	Jsou-li dány dvě přímky (hrany) p1 a p2, můžeme složit hranu tak, aby přímka p1 ležela na přímce p2.
O4	Je-li dán bod B1 a přímka p1, můžeme složit hranu, která je kolmá k p1 a zároveň prochází bodem B1.
O5	Jsou-li dány dva body B1, B2 a přímka p1, můžeme složit hranu tak, aby bod B1 ležel na přímce p1 a zároveň tato hrana procházela bodem B2
O6	Jsou-li dány dva body B1, B2 a dvě přímky p1, p2, můžeme složit hranu tak aby bod B1 ležel na přímce p1 a zároveň bod B2 ležel na přímce p2.

Huzitovy axiomy O1 -- O4 jsou poměrně jednoduché. Snadno lze ukázat, že jimi popsané operace mohou být provedeny pomocí konstruktivní geometrie. S axiomy O5 a O6 už to tak lehké není. Nejprve se podíváme na O5, který také lze konstruktivní geometrií provést, ale co vlastně tento axiom znamená?

Cvičení k axiomu O5

Cvičení k aximu O6

Pokud jste porozuměli předchozímu, toto cvičení bude snadné. Při bližším zkoumání totiž zjistíte, že axiom O6 je stejný jako O5, ale dvojitý. V axiomu O5 bod B₁ je ohniskem a přímka p₁ řídící přímkou paraboly. Totéž platí u axiomu O6, ale zároveň bod B₂ je ohniskem a přímka p₂ řídící přímkou jiné paraboly! Axiom O6 tedy řeší následující problém: Jsou dány dvě paraboly v rovině, najděte jejich společnou tečnu.

Laskavý čtenář nechť si ověří, že řešení tohoto problému je ekvivalentní řešení rovnice 3. stupně.

Poučení: Axiom O6 dovoluje řešit kubické rovnice. To je něco, co konstruktivní geometrie neumožňuje. A dále, problémy trisekce úhlu a zdvojení krychle lze převést na řešení kubických rovnic. Axiom O6 by nám tedy měl umožnit řešit tyto problémy prostřednictvím origami. Vskutku, je tomu tak!

Jak provést trisekci úhlu

	1) Nechť dělený úhel má vrchol v levém dolním rohu. Nazvěme jej α (alfa). (Poznamenejme, že zde uvažujeme ostrý úhel, ale metodu lze snadno rozšířit pro tupé úhly.) Vytvořme dvě paralelní, ekvidistatní vodorovné hrany na spodní straně.
	2) Aplikujme axiom O6, jak je naznačeno: přeložit bod B1 na hranu p1 a bod B2 na hranu p2. Není úplně snadné to provést -- musíte si trochu pohrát s papírem, abyste našli přesnou pozici hrany.
	3) Nyní znovu přeložme hranu p1 v její nové pozici -- prodlužme ji nahoru. Vznikne nová hrana p3. Rozložme hranu z kroku 2 a prodlužme hranu p3 dolů (měla by protnout levý dolní roh!).
	4) Dostáváme úhel (2/3)α. Cvičení:Můžete dokázat že tato metoda opravdu funguje? Nápověda.

Jak zdvojit krychli

"Zdvojením krychle" se rozumí zdvojnásobení objemu krychle. V podstatě jde o to, zkonstruovat úsečku, jejíž délka je rovna třetí odmocnině ze dvou. To je řešení kubické rovnice, musíme tedy být schopni řešit kubické rovnice. Konstruktivní geometrie to nedokáže, ale origami ano. Peter Messer nalezl úžasně jednoduchý postup, jak to provést skládáním papíru [Messer86].

	Nejprve je třeba rozdělit čtverec na třetiny. (Existují matematicky přesné způsoby, jak to udělat, nebudeme je na tomto místě rozvádět.) Nechť jsou dány body B1, B2 a hrany p1, p2 podle obrázku. Vytvoříme novou hranu podle axiomu O6.
	Označme délky x a y jako části hrany p1 rozdělené bodem B1. Pak poměr x/y je hledané číslo, třetí odmocnina ze dvou. Důkaz ponecháváme na laskavém čtenáři.

To bylo jenom několik příkladů, jak může být axiom O6 použit k provedení komplikovaných konstrukcí. Dalších možností užití je mnoho -- neváhejte experimentovat a najít své vlastní. Vážným zájemcům lze jen doporučit studium původních článků Humiaki Huzity and Roberta Geretschlagera. Bibliografii další odkazy a poznámky lze nalézt na stránkách Thomase Hulla.

Nevíme, jestli seznam Huzitových axiomů je úplný! Možná existují postupy skládání, které mohou řešit rovnice stupně 5 nebo vyššího? Obecně panuje shoda v tom, že žádný "sedmý axiom" neexistuje, ale zatím to nikdo nedokázal.

Reference

Abe80

Abe, H., Trisection of angle by H. Abe (in Japanese) by K. Fusimi, in Science of Origami, a supplement to Saiensu (the Japanese version of Scientific American), Oct. 1980, p. 8

Huzita91

Huzita, H., Understanding Geometry through Origami Axioms, in the Proceedings of the First International Conference on Origami in Education and Therapy (COET91), J. Smith ed., British Origami Society, 1992, pp. 37-70)

Hull97

Hull, T., Origami and Geometric Constructions, a comparison between straight edge and compass constructions and origami, http://chasm.merrimack.edu/~thull/geoconst.html (květen 2001)

Messer86

Peter Messer, From Problem 1054, in Crux Mathematicorum, Vol. 12, No. 10, 1986, pp. 284-285.